Chapter 4: 效用

基数效用

构造效用函数

根据无差异曲线构造效用函数: 画一条如Figure 4.1的对角线, 沿着这条线测度每条无差异曲线离原点的距离, 并且以此标记每条无差异曲线. 只要偏好是单调的, 我们就可以说明这是一个效用函数.

由效用函数推出无差异曲线: 我们假设效用函数为 $u(x_1,x_2)=x_1{x}_2$. 那么无差异曲线就是使得 $k=x_1{x}_2$ 的所有 $x_1$ 和 $x_2$ 的组合. → 无差异曲线满足公式 $$x_1=\frac{k}{x_2}.$$ Figure 4.2中的三条无差异曲线就分别是 $k=1,2,3$ 的情况.

完全替代偏好

完全替代偏好: 一般地, 完全替代偏好可以使用以下形式的效用函数来描述: $$u(x_1,x_2)=a{x}_1+b{x}_2.$$

完全互补偏好

完全互补偏好: 一般地, 完全互补偏好可以使用以下形式的效用函数来描述: $$u(x_1,x_2)=\min \{a{x}_1,b{x}_2\}.$$

拟线性偏好

拟线性偏好: 效用函数对商品2来说是线性的: $$u(x_1,x_2)=v(x_1)+x_2.$$

柯布-道格拉斯偏好

边际效用

商品1的边际效用: marginal utility of good 1.

被定义为: $${\text{MU}}_1=\frac{\Delta U}{\Delta x_1}=\frac{u(x_1+\Delta x_1,x_2)-u(x_1,x_2)}{\Delta x_1}.$$ 或者是某种微积分的定义形式: $${\text{MU}}_1=\underset{\Delta x_1\to 0}{\lim }\frac{u(x_1+\Delta x_1,x_2)-u(x_1,x_2)}{\Delta x_1}=\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}.$$

我们可以发现: $${\text{MU}}_1\Delta x_1+{\text{MU}}_2\Delta x_2=\Delta U=0.$$ 根据这个式子, 我们将会推导得到: $$\text{MRS}=\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}=-\frac{{\text{MU}}_1}{{\text{MU}}_2}.$$

通勤车票的效用

我们假设 $(x_1,x_2,...,x_n)$ 表示自己驾车时的对应的$n$个特征的值, $(y_1,y_2,...,y_n)$ 表示坐公交时的对应的$n$个特征的值. 我们设效用函数表示为: $U(x_1,x_2,...,x_n)={\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_n{x}_n.$

${\beta }_i$ 表示各种特征的边际效用, 两个系数之间的比率, 表示一个特征和另一个特征之间的边际替代率. e.g. $$\frac{{\beta }_1}{{\beta }_2}=\frac{{\text{MU}}_1}{{\text{MU}}_2}=-\text{MRS}.$$ 这是说, 要是能减少1单位的特征1, 消费者宁愿增加 $\text{MRS}$ 个单位的特征2.

微分表达形式

方法一: 根据 $\text{MU}$ 的计算, 我们知道: $$\mathrm{d}u=\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}\mathrm{d}{x}_1+\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2}\mathrm{d}{x}_2=0.$$ 这样我们就会得到: $$\text{MRS}=\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}{x}_2}=-\frac{\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2}}.$$

方法二: 把 $x_2$ 视作 $x_1$ 的函数 $x_2(x_1)$, 那么有: $$u(x_1,x_2(x_1))\equiv k.$$ 对于这个式子两边同时对$x_1$求微分得到: $$\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}+\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2}\frac{\partial x_2(x_1)}{\partial x_1}=0.$$ 这个方程将会得到: $$\text{MRS}=\frac{\partial x_2(x_1)}{\partial x_1}=-\frac{\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_1}}{\frac{\partial u(x_1,x_2)}{\partial x_2}}.$$

边际替代率与效用的表示方法无关, 因为作单调变换 $f(u)$ 后得到 $\frac{\partial f}{\partial u}$ 可以消去.

单调变换不可能改变边际替代率.

柯布-道格拉斯偏好:

• 选择对数表达式: $$\text{MRS}=-\frac{c/x_1}{d/x_2}=-\frac{c{x}_2}{d{x}_1}.$$
• 选择指数表达式: $$\text{MRS}=-\frac{c{x}_1^{c-1}{x}_2^d}{d{x}_1^c{x}_2^{d-1}}=-\frac{c{x}_2}{d{x}_1}.$$